Bài tập 11, § 3

Cho $(c_{mn})$ là một dãy kép các số $> 0$ sao cho $c_{m,n} \leq c_{m+1,n}$ và gọi E là không gian của tất cả các dãy $x = (x_n)$ các số thực sao cho $p_m(x) = \sum_n c_{mn} |x_n| < +\infty$ với mọi số nguyên m. Ta trang bị cho E tôpô được xác định bởi các bán chuẩn $p_m$ và đối với tôpô này E là một không gian Fréchet thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất; đối ngẫu $E'$ của E có thể được đồng nhất với không gian của tất cả các dãy $x' = (x'_n)$ sao cho $\sup_n c_{mn}^{-1} |x'_n| < +\infty$ với ít nhất một m, dạng song tuyến tính chính tắc $\langle x, x' \rangle$ được đồng nhất với $\sum_n x_n x'_n$ (IV, p. 47, exerc. 1, c)). Giả sử rằng không tồn tại một dãy con $(n_k)$ nào mà đối với nó có một dãy $(a_m)$ các số $\geq 0$ và một chỉ số $m_0$ sao cho $c_{m,n_k} \leq a_m c_{m_0,n_k}$ với mọi $m \geq m_0$ và với mọi k. Dưới các điều kiện này, mọi dãy hội tụ yếu trong $E'$ đều hội tụ mạnh và do đó (IV, p. 60, exerc. 10) E là một không gian Montel. (Lập luận bằng reductio ad absurdum; nếu cần thiết hãy thực hiện một phép biến đổi dạng $(x_n) \mapsto (a_n x_n)$ để rút gọn về trường hợp $c_{m_0 n} = 1$ với mọi n và một số $m_0$, và trong đó tồn tại một dãy $(x^{(p)})_{p \geq 0}$ hội tụ yếu về 0 trong E', và thỏa mãn $|x^{(p)}_n| \leq 1$ với mọi cặp $(p, n)$, đồng thời tồn tại một tập hợp bị chặn B trong E, được xác định bởi $p_m(x) \leq b_m$ với mọi $m \geq 0$ và sao cho $\sup_{x \in B} |\langle x, x^{(p)} \rangle| \geq 2\delta > 0$ với mọi số nguyên p. Với các giả thiết này, hãy chứng minh rằng tồn tại một dãy tăng ngặt $(r_q)$ các số nguyên, và một dãy $(x^{(q)})$ các điểm của B sao cho

với mỗi chỉ số q. Sau đó hãy chỉ ra, bằng reductio ad absurdum, rằng với mỗi q, tồn tại ít nhất một chỉ số $s_q$ sao cho $r_q < s_q \leq r_{q+1}$ và với mọi số nguyên m, ta có $c_{m,s_q} \leq b_m 2^{m+2}/\delta$, điều này mâu thuẫn với giả thiết.)