Exercice 14, § 3

a) Soient E un espace de Fréchet, E' son dual. Montrer que E', muni de la topologie de la convergence compacte ou d'une $\mathscr{S}$-topologie plus fine, est complet ($cf.$ III, p. 23, Remarque 1). Si E n'est pas réflexif, montrer que E' n'est infratonné pour aucune des $\mathscr{S}$-topologies plus fines que la topologie de la convergence compacte et moins fines que $\tau(E', E)$. b) Soient $(E_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille d'espaces de Fréchet, E un espace vectoriel, et pour chaque $\alpha \in A$, soit $h_\alpha$ une application linéaire de $E_\alpha$ dans E. On suppose que E, muni de la topologie localement convexe la plus fine rendant continues les $h_\alpha$ (II, p. 29) est séparé. Montrer que le dual $E'$ de E, muni de la topologie de la convergence compacte ou de toute $\mathscr{S}$-topologie plus fine, est complet ($cf.$ III, p. 20, th. 1).