Bài tập 14, § 3

(a) Cho E là một không gian Fréchet, E' là đối ngẫu của nó. Bây giờ chứng minh rằng E', được trang bị tôpô hội tụ compact hoặc một $\mathscr{S}$-tôpô mịn hơn, là đầy đủ ($cf.$ III, p. 23, Nhận xét 1). Nếu E không phản xạ, chứng minh rằng E' không phải là infratoned đối với bất kỳ $\mathscr{S}$-tôpô nào mịn hơn tôpô hội tụ compact và kém mịn hơn $\tau(E', E)$. (b) Cho $(E_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ các không gian Fréchet, E là một không gian vectơ, và với mỗi $\alpha \in A$, cho $h_\alpha$ là một ánh xạ tuyến tính từ $E_\alpha$ vào E. Ta giả sử rằng E, được trang bị tôpô lồi địa phương mịn nhất làm cho các $h_\alpha$ liên tục (II, p. 29), là tách được. Bây giờ chứng minh rằng đối ngẫu $E'$ của E, được trang bị tôpô hội tụ compact hoặc bất kỳ $\mathscr{S}$-tôpô nào mịn hơn, là đầy đủ ($cf.$ III, p. 20, đl. 1).