Exercice 15, § 3

Soient E un espace de Banach de dimension infinie, $(a_n)_{n \geq 1}$ une famille libre dénombrable totale de points de E, $F_n$ le sous-espace de E de dimension $n$ engendré par les $a_m$ d'indice $m \leq n$. Soit $S_n$ la sphère d'équation $\|x\| = n$ dans E ; dans $S_n \cap F_n$ soit $A_n$ un ensemble fini tel que tout point de $S_n \cap F_n$ soit à une distance $\leq 1/n$ de $A_n$. Montrer que $A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n$ est tel que son intersection avec tout ensemble fermé borné est fermée, mais que 0 est adhérent à A pour la topologie affaiblie.