Bài tập 15, § 3

Cho E là một không gian Banach vô hạn chiều, $(a_n)_{n \geq 1}$ là một họ tự do toàn phần đếm được các điểm của E, $F_n$ là không gian con của E có chiều $n$ sinh bởi các $a_m$ có chỉ số $m \leq n$. Cho $S_n$ là mặt cầu có phương trình $\|x\| = n$ trong E; trong $S_n \cap F_n$ cho $A_n$ là một tập hợp hữu hạn sao cho mọi điểm của $S_n \cap F_n$ đều cách $A_n$ một khoảng $\leq 1/n$. Bây giờ chứng minh rằng $A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n$ có tính chất là giao của nó với mọi tập hợp đóng bị chặn đều đóng, nhưng 0 là điểm dính của A đối với tôpô yếu.