Exercice 2, § 3

Un espace infratonnelé est semi-tonnelé. On dit qu’un espace localement convexe est un espace (DF) s’il est semi-tonnelé et si sa bornologie canonique (III, p. 3, déf. 5) admet une base dénombrable. Tout espace normé et toute limite inductive stricte d’une suite d’espaces normés (II, p. 36) est un espace (DF). Tout dual fort d’un espace de Fréchet est un espace (DF). a) Le dual fort d’un espace (DF) est un espace de Fréchet. b) Soit E un espace (DF), et soit $(A_n)$ une suite croissante de parties bornées, convexes, équilibrées et fermées de E, telle que toute partie bornée de E soit absorbée par un des $A_n$. Soit U la réunion des $A_n$; montrer que l’adhérence $\overline{U}$ de U dans E est identique à l’ensemble des $x \in E$ tels que $\lambda x \in U$ pour $0 \leq \lambda < 1$. (Si $x \notin \lambda U$ pour un $\lambda > 1$, remarquer que, pour tout $n$, il existe une forme linéaire $x'_n \in E'$ telle que $x'_n \in A_n^\circ$ et $\langle x, x'_n \rangle = \lambda$, et que la suite $(x'_n)$ est équicontinue, donc a une valeur d’adhérence faible.) c) Montrer que si un espace (DF) est tonnelé, il est aussi bornologique (cf. III, p. 45, exerc. 13, b)). Donner des exemples d’espaces (DF) non ultrabornologiques, mais bornologiques et tonnelés (III, p. 47, exerc. 22) et d’espaces (DF) non tonnelés mais bornologiques.