Bài tập 2, § 3

. (Sử dụng $a$), nhận thấy rằng các tập đóng bị chặn trong $E$ là compact đối với $\mathscr{T}$, và do đó, đầy đủ đối với tôpô ban đầu của $E$; điều này suy ra rằng $E$ là vành thùng). Nếu $\mathscr{T}$ là tôpô ban đầu, thì $E$ là một không gian Montel.

18) a) Cho $E$ là một không gian lồi địa phương Hausdorff, và cho $(A_n)$ là một dãy tăng các tập lồi, cân bằng, compact đối với tôpô yếu $\sigma(E, E')$, sao cho hợp của các tập $A_n$ là $E$, và sao cho với mọi số nguyên $n$ và mọi $\lambda > 0$, tồn tại $m$ sao cho $\lambda A_n \subset A_m$. Hãy chỉ ra rằng $(A_n)$ là một cơ sở của bornology gồm các tập lồi và tương đối compact đối với $\sigma(E, E')$. (Nhận thấy rằng trên $E'$ tôpô của sự hội tụ đều trên các $A_n$ là $\tau(E', E)$.) b) Nếu $E$ là vành thùng và nếu tồn tại một dãy $(A_n)$ có các tính chất đã nêu trong $a$, thì $E$ là một không gian phản xạ (DF). (Nhận thấy rằng $E'$, được trang bị $\tau(E', E)$ là khả mêtric và rằng tôpô của $E$ là $\beta(E, E')$.)