Exercice 3, § 3

Soient E un espace localement convexe métrisable, $E'_b$ son dual fort. a) Montrer que toute partie convexe équilibrée $V'$ de $E'_b$ absorbant les parties fortement bornées de $E'_b$ contient un tonneau (pour la topologie forte) absorbant les parties fortement bornées de $E'_b$. (Soit $(K'_n)$ une base dénombrable de la bornologie canonique de $E'_b$, et soit $\lambda_n$ tel que $\lambda_n K'_n \subset \frac{1}{2} V'$; appliquer l’exerc. 2, b) à la suite des $A'_n$, où $A'_n$ est l’enveloppe convexe de la réunion des $\lambda_j K'_j$ pour $j \leq n$.) b) Déduire de a) que les propriétés suivantes sont équivalentes : α) E est distingué (IV, p. 52, exerc. 4). β) $E'_b$ est infratonnelé (III, p. 45, exerc. 7). γ) $E'_b$ est bornologique. δ) $E'_b$ est tonnelé. ε) $E'_b$ est ultrabornologique (III, p. 47, exerc. 19). c) Montrer que si $E'_b$ est réflexif, on a $\hat{E} = E''$ (qui est évidemment réflexif) (cf. IV, p. 52, exerc. 4 et p. 54, exerc. 11).