Exercice 7, § 3

a) Soient E un espace (DF), U un ensemble convexe, équilibré et fermé dans E, qui absorbe les parties bornées de E, $(x_n)$ une suite de points de $\mathbf{C} U$. Montrer qu'il existe un voisinage V de 0 dans E qui ne contient aucun des $x_n$. (Soit $(A_n)$ une base dénombrable de la bornologie canonique de E. Montrer qu'on peut définir par récurrence une suite $(\lambda_n)$ de nombres $> 0$ et une suite $(V_n)$ de voisinages de 0, convexes, équilibrés et fermés, tels que $\lambda_n A_n \subset \bigcap_{j=1}^\infty V_j$, $\lambda_n A_n \subset U$ et $x_n \in \mathbf{C} V_n$ pour tout n. Pour cela, les $\lambda_j$ et $V_j$ étant déterminés pour $j \leq n$, prendre d'abord $\lambda_{n+1}$ tel que $\lambda_{n+1} A_{n+1} \subset U$ et $\lambda_{n+1} A_{n+1} \subset V_j$ pour tout $j \leq n$, puis prendre $V_{n+1}$ contenant l'adhérence de l'enveloppe convexe de la réunion des $\lambda_j A_j$ pour $j \leq n + 1$.) b) Déduire de a) que si M est une partie de E contenant un ensemble dénombrable partout dense, la topologie induite sur M par la topologie forte du bidual $E''$ de E est identique à la topologie induite par celle de E. En particulier, les suites convergentes dans E sont les mêmes pour la topologie de E et la topologie induite par la topologie forte de $E''$; pour toute partie métrisable M de E, la topologie induite sur M par la topologie de E est identique à la topologie induite par la topologie forte de $E''$. c) Déduire de a) que s'il existe un ensemble dénombrable partout dense dans E, alors E est infratonnelé. d) Déduire de b) et de l'exerc. 6 que si toute partie bornée de E est métrisable pour la topologie induite par celle de E, alors E est infratonnelé.