Bài tập 7, § 3

a) Cho E là một không gian (DF), U là một tập hợp lồi, cân bằng và đóng trong E, hấp thụ các phần bị chặn của E, $(x_n)$ là một dãy các điểm của $\mathbf{C} U$. Chứng minh rằng tồn tại một lân cận V của 0 trong E không chứa một điểm nào trong các $x_n$. (Gọi $(A_n)$ là một cơ sở đếm được của bornologie chính tắc của E. Chứng minh rằng có thể định nghĩa bằng quy nạp một dãy $(\lambda_n)$ các số $> 0$ và một dãy $(V_n)$ các lân cận của 0, lồi, cân bằng và đóng, sao cho $\lambda_n A_n \subset \bigcap_{j=1}^\infty V_j$, $\lambda_n A_n \subset U$ và $x_n \in \mathbf{C} V_n$ với mọi n. Để làm điều này, khi các $\lambda_j$ và $V_j$ được xác định đối với $j \leq n$, trước hết lấy $\lambda_{n+1}$ sao cho $\lambda_{n+1} A_{n+1} \subset U$ và $\lambda_{n+1} A_{n+1} \subset V_j$ với mọi $j \leq n$, sau đó lấy $V_{n+1}$ chứa bao đóng của bao lồi của hợp các $\lambda_j A_j$ với $j \leq n + 1$.) b) Suy ra từ a) rằng nếu M là một tập con của E chứa một tập hợp trù mật khắp nơi đếm được, thì tôpô cảm sinh trên M bởi tôpô mạnh của đối ngẫu thứ hai $E''$ của E là đồng nhất với tôpô cảm sinh bởi tôpô của E. Đặc biệt, các dãy hội tụ trong E là như nhau đối với tôpô của E và tôpô cảm sinh bởi tôpô mạnh của $E''$; đối với mọi tập con khả mêtric M của E, tôpô cảm sinh trên M bởi tôpô của E là đồng nhất với tôpô cảm sinh bởi tôpô mạnh của $E''$. c) Suy ra từ a) rằng nếu tồn tại một tập hợp trù mật khắp nơi đếm được trong E, thì E là infratonnelé. d) Suy ra từ b) và bài tập 6 rằng nếu mọi tập con bị chặn của E đều khả mêtric đối với tôpô cảm sinh bởi tôpô của E, thì E là infratonnelé.