Exercice 9, § 4

Soit $A$ un ensemble dénombrable. On considère trois couples d’espaces vectoriels $(P, P'), (Q, Q'), (E, E')$, ces 6 espaces étant des sous-espaces vectoriels de $\mathbf{R}^A$ et contenant le sous-espace somme directe $\mathbf{R}^{(A)}$; on suppose en outre que pour tout point $x \in P$ (resp. $x \in Q, x \in E$) et tout point $x' \in P'$ (resp. $x' \in Q', x' \in E'$), la famille $(x_\alpha x'_\alpha)_{\alpha \in A}$ soit sommable et on pose $\langle x, x' \rangle = \sum_{\alpha \in A} x_\alpha x'_\alpha$; cette forme bilinéaire met $P$ et $P'$ (resp. $Q$ et $Q'$, $E$ et $E'$) en dualité séparante. a) On suppose que l’on a $E = P \cap Q, E' \supset P' + Q'$ et $E' \neq P' + Q'$. On considère l’application linéaire $u : x \mapsto (x, x)$ de $E$ dans $F = P \times Q$. L’espace $F$ étant mis en dualité séparante avec $F' = P' \times Q'$, montrer que $u$ est continue pour les topologies faibles $\sigma(E, E')$ et $\sigma(F, F')$ et que son image $M = u(E)$ est un sous-espace fermé pour $\sigma(F, F')$; en déduire que $'u$ est un morphisme strict de F' dans E' pour les topologies σ(F', F) et σ(E', E), et que N = 'u(F) n'est pas fermé dans E' pour σ(E', E). Si E' est métrisable pour la topologie τ(E', E), en déduire que 'u est aussi un morphisme strict de F' dans E' pour les topologies τ(F', F) et τ(E', E). b) On suppose de plus que E' soit un espace de Fréchet pour τ(E', E). Alors F'/M°, muni de la topologie quotient de τ(F', F) par M°, n'est pas semi-complet, et il existe dans F'/M° des ensembles bornés qui ne sont pas relativement compacts pour τ(F'/M°, M). c) Sous les mêmes hypothèses que dans b), soit x' un élément de E' n'appartenant pas à N = 'u(F'); pour tout y ∈ M, soit v(y) = ⟨x, x'⟩, où x ∈ E est l'unique élément tel que u(x) = y. Montrer que la forme linéaire v sur M n'est pas continue pour la topologie σ(F, F'), mais que sa restriction à toute partie bornée de M est continue pour σ(M, F'/M°). En déduire que L = v^{-1}(0) est un sous-espace vectoriel de F, dont l'intersection avec toute partie bornée et fermée de F (pour σ(F, F')) est fermée pour σ(F, F'), mais qui n'est pas fermé dans F pour σ(F, F').