Bài tập 9, § 4

Cho A là một tập hợp đếm được. Xét ba cặp không gian vectơ $(P, P'), (Q, Q'), (E, E')$, mỗi không gian trong sáu không gian này là một không gian con vectơ của $\mathbf{R}^A$ và chứa không gian con tổng trực tiếp $\mathbf{R}^{(A)}$; ngoài ra, giả sử rằng với mọi điểm $x \in P$ (tương ứng $x \in Q$, $x \in E$) và mọi điểm $x' \in P'$ (tương ứng $x' \in Q'$, $x' \in E'$), họ $(x_\alpha x'_\alpha)_{\alpha \in A}$ là khả tổng và đặt $\langle x, x' \rangle = \sum_{\alpha \in A} x_\alpha x'_\alpha$; dạng song tuyến tính này đặt P và $P'$ (tương ứng Q và $Q'$, E và $E'$) trong đối ngẫu tách.

a) Giả sử rằng $E = P \cap Q$, $E' \supset P' + Q'$ và $E' \neq P' + Q'$. Xét ánh xạ tuyến tính $u : x \mapsto (x, x)$ từ E vào $F = P \times Q$, được đặt trong đối ngẫu tách với $F' = P' \times Q'$. Chứng minh rằng $u$ liên tục đối với các tôpô yếu $\sigma(E, E')$ và $\sigma(F, F')$ và rằng ảnh của nó $M = u(E)$ là một không gian con đóng đối với $\sigma(F, F')$; suy ra rằng $u'$ là một cấu xạ ngặt từ $F'$ vào $E'$ đối với các tôpô $\sigma(F', F)$ và $\sigma(E', E)$, và rằng $N = u'(F)$ không đóng trong $E'$ đối với $\sigma(E', E)$. Nếu $E'$ là mêtric hóa được đối với tôpô $\tau(E', E)$, suy ra rằng $u'$ cũng là một cấu xạ ngặt từ $F'$ vào $E'$ đối với các tôpô $\tau(F', F)$ và $\tau(E', E)$.

b) Ngoài ra, giả sử rằng $E'$ là một không gian Fréchet đối với $\tau(E', E)$. Khi đó $F'/M^\circ$ được trang bị tôpô thương của $\tau(F', F)$ bởi $M^\circ$, không là nửa đầy đủ, và tồn tại các tập hợp bị chặn trong $F'/M^\circ$ không tương đối compact đối với $\tau(F'/M^\circ, M)$.

c) Với cùng các giả thiết như trong b), cho $x'$ là một phần tử của $E'$ không thuộc $N = u'(F')$; với mọi $y \in M$, đặt $v(y) = \langle x, x' \rangle$, trong đó $x \in E$ là phần tử duy nhất sao cho $u(x) = y$. Chứng minh rằng dạng tuyến tính $v$ trên $M$ không liên tục đối với tôpô $\sigma(F, F')$, nhưng hạn chế của nó trên mọi tập con bị chặn của $M$ là liên tục đối với $\sigma(M, F'/M^\circ)$. Suy ra rằng $L = v^{-1}(0)$ là một không gian con vectơ của $F$, có giao với mọi tập con bị chặn và đóng của $F$ (đối với $\sigma(F, F')$) là đóng đối với $\sigma(F, F')$, nhưng không đóng trong $F$ đối với $\sigma(F, F')$.