Exercice 10, § 5

Soit E un espace localement convexe séparé, quasi-complet, et non semi-réflexif, et soit H un hyperplan fermé dans E contenant l’origine. Soit (C_n) une suite décroissante d’ensembles convexes, fermés, bornés et non vides, contenus dans H ne contenant pas 0 et dont l’intersection est vide (exerc. 8). Soit x un point n’appartenant pas à H, et soit A l’enveloppe fermée convexe et équilibrée de la réunion des ensembles $\left(1 - \frac{1}{n}\right)x + C_n$ pour $n > 0$. a) Montrer qu’il n’existe aucun hyperplan d’appui de A parallèle à H (pour $y \in x + H$, remarquer qu’il existe un entier n tel que $y \notin x + C_n$). b) Soit $z \in H$ tel que $z \notin C_1$; montrer que l’enveloppe convexe de la réunion des deux ensembles convexes, fermés et bornés A et B = $x + z + C_1$, n’est pas fermée (on prouvera que $x + z$ est adhérent à cette enveloppe, mais ne lui appartient pas).