Bài tập 10, § 5

Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff, giả đầy đủ và không nửa phản xạ, và cho H là một siêu phẳng đóng trong E chứa gốc. Cho $(C_n)$ là một dãy giảm các tập hợp không rỗng, đóng, lồi và bị chặn, được chứa trong H và không chứa 0, và có giao là rỗng (bài tập 8). Cho $x$ là một điểm không thuộc H, và cho A là bao lồi đóng và cân bằng của hợp của các tập hợp $\left(1 - \frac{1}{n}\right)x + C_n$ với $n > 0$. a) Chứng minh rằng không tồn tại siêu phẳng tựa nào của A song song với H (đối với $y \in x + H$, nhận xét rằng tồn tại một số nguyên $n$ sao cho $y \notin x + C_n$).

b) Cho $z \in \mathbf{H}$ sao cho $z \notin C_1$; chứng minh rằng bao lồi của hợp của hai tập hợp đóng, lồi và bị chặn $A$ và $B = x + z + C_1$ là không đóng (chứng minh rằng $x + z$ thuộc vào bao đóng của bao lồi này, nhưng không thuộc vào nó).