Ta sẽ chứng minh a) bằng phản chứng. Nếu A không tiềncompact, thì theo định lý 3 của GT, II, § 3, No. 7, suy ra rằng tồn tại một lân cận lồi đối xứng V của 0 trong E sao cho A không thể được phủ bởi một số hữu hạn các phép tịnh tiến của V.

Nói cách khác, nếu $x_0, x_1, ..., x_{n-1}$ là các điểm của A, thì $A \notin \bigcup_{0 \leq i < n} (x_i + V)$ và do đó tồn tại một điểm $x_n$ của A sao cho $x_n - x_i \notin V$ với $0 \leq i < n$. Khi đó, bằng quy nạp theo số nguyên $n$, ta có thể xây dựng một dãy vô hạn $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ các điểm của A sao cho $x_n - x_m \notin V$ bất cứ khi nào $n > m$; vì V đối xứng, ta cũng có $x_m - x_n \notin V$ với $m \neq n$ và các tập hợp $x_n + \frac{1}{2} V$ rời nhau. Với mọi điểm $x$ trong E, tồn tại nhiều nhất một số nguyên $n \geq 0$ sao cho $x_n \in x + \frac{1}{2} V$, do đó dãy $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ không có điểm giới hạn nào. Điều này chứng minh a).

Bây giờ giả sử rằng A tiềncompact trong E và được chứa trong một tập compact B của $E_\sigma$. Khi đó B đầy đủ trong $E_\sigma$, do đó cũng đầy đủ trong E (IV, p. 5, Nhận xét 2). Ta có $\overline{A} \subset B$, do đó A compact tương đối trong E. Điều đảo lại là hiển nhiên và b) được suy ra.

tồn tại, thì chúng bằng nhau. Ngoài ra, ta có $\sup_{f \in A} |f(x)| < + \infty$ với mọi $x \in X$.

(i) $\Rightarrow$ (ii) : đặt $\overline{A}$ là bao đóng của A trong $\mathscr{C}_s(X)$. Giả sử rằng A là compact, và xét một dãy các hàm $f_n \in A$ (với $n \in \mathbf{N}$). Gọi $\phi$ là ánh xạ liên tục $x \mapsto (f_n(x))_{n \in \mathbf{N}}$ từ X vào không gian mêtric được $K^\mathbf{N}$. Ảnh $X'$ của X qua $\phi$ là một không gian compact mêtric, vì X là compact. Gọi E là không gian con đóng của $\mathscr{C}_s(X)$ gồm các hàm liên tục $f$ trên X sao cho quan hệ $\phi(x) = \phi(y)$ kéo theo $f(x) = f(y)$ với mọi cặp điểm $x, y$ trong X. Theo hệ quả 2 của GT, I, § 9, No. 4 và mệnh đề 3 của GT, I, § 5, No. 2, ánh xạ $f' \mapsto f' \circ \phi$ là một đồng phôi $\phi^*$ từ $\mathscr{C}_s(X')$ lên E. Do đó tập hợp $A' = (\phi^*)^{-1}(\overline{A})$ là compact trong $\mathscr{C}_s(X')$, và hiển nhiên tồn tại các phần tử $f'_n$ trong $A'$ sao cho $\phi^*(f'_n) = f'_n \circ \phi$ bằng $f_n$.

Vì $X'$ là một không gian compact mêtric, tồn tại một tập con đếm được trù mật D' trong $X'$ (GT, IX, § 2, No. 8, mệnh đề 12 và § 2, No. 9, mệnh đề 16). Gọi $\mathscr{T}_1$ (tương ứng $\mathscr{T}_2$) là tôpô trên $A'$ cảm sinh bởi tôpô hội tụ đơn giản trên D' (tương ứng $X'$). Khi đó $\mathscr{T}_1$ là mêtric hóa được, $\mathscr{T}_2$ là compact và mịn hơn $\mathscr{T}_1$, do đó $\mathscr{T}_1$ và $\mathscr{T}_2$ trùng nhau; nói cách khác, $A'$ là một không gian con compact mêtric hóa được của $\mathscr{C}_s(X')$. Vì vậy, tồn tại một dãy $(f'_{n_k})$ trích ra từ $(f'_n)$ và hội tụ đến một phần tử $f'$ của $\mathscr{C}_s(X')$. Vì vậy, dãy $(f_{n_k})$ hội tụ đến $f = f' \circ \phi$ trong $\mathscr{C}_s(X)$.

(ii) $\Rightarrow$ (iii) : điều này là hiển nhiên.

(iii) $\Rightarrow$ (iv) : giả sử rằng mọi dãy vô hạn các phần tử của A đều có một điểm giới hạn trong $\mathscr{C}_s(X)$. Cho $x \in X$. Ánh xạ $\phi_x : f \mapsto f(x)$ từ A vào K là liên tục. Do đó, mọi dãy vô hạn trong $\phi_x(A)$ đều có một điểm giới hạn; vì trường K (bằng $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$) là mêtric hóa được, tập hợp $\phi_x(A)$ là tương đối compact trong K, do đó bị chặn. Nói cách khác, ta có $\sup_{f \in A} |f(x)| < \infty$.

Cho $f_n, x_m, \gamma$ và $\delta$ như trong (iv). Gọi $f$ là một điểm giới hạn của dãy $(f_n)$ trong $\mathscr{C}_s(X)$, và $x$ là một điểm giới hạn của dãy $(x_m)$ trong không gian compact X. Với mọi $m$, ánh xạ $h \mapsto h(x_m)$ từ $\mathscr{C}_s(X)$ vào K là liên tục. Theo các giả thiết, ta có $f(x_m) = \lim_{n \to \infty} f_n(x_m)$, và do đó $\gamma = \lim_{m \to \infty} f(x_m)$; vì $f : X \to K$ là liên tục và $x$ là một điểm giới hạn của dãy $(x_m)$, ta được $\gamma = f(x)$. Một cách tương tự, ta chứng minh đẳng thức $\delta = f(x)$, do đó $\gamma = \delta$.

(iv) $\Rightarrow$ (i) : giả sử rằng tập hợp các số $f(x)$, khi $f$ chạy qua A, bị chặn trong K với mọi $x \in X$. Điều này tương đương với việc giả sử rằng bao đóng $\overline{A}$ của A trong không gian tích $K^X$ là compact (GT, I, § 9, No. 5). Giả sử rằng A không tương đối compact trong $\mathscr{C}_s(X)$. Điều này có nghĩa là tồn tại một hàm $u \in \overline{A}$ và một điểm $a \in X$ sao cho $u$ không liên tục tại $a$. Do đó tồn tại một số thực $\varepsilon > 0$ sao cho trong mọi lân cận U của $a$, tồn tại một điểm $x$ với $|u(x) - u(a)| \geq \varepsilon$.

Ta sẽ xây dựng bằng quy nạp một dãy $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ các điểm trong D và một dãy $(f_n)_{n \in \mathbf{N}}$ các phần tử của A, thỏa mãn các hệ thức sau :

(1)$_m$

(2)$_m$

(3)$_{m,i}$

Ta lấy $x_0 = a$ với $f_0$ tùy ý trong A (tập hợp A không rỗng, nếu không nó sẽ là tương đối compact trong $\mathscr{C}_s(X)$). Cho $n \geq 1$ và $x_0, x_1, ..., x_{n-1}, f_0, f_1, ..., f_{n-1}$ thỏa mãn các quan hệ (1)$_m$, (2)$_m$ với $1 \leq m < n$ và (3)$_{m,i}$ với $0 \leq m \leq i < n$. Vì $u$ thuộc $\overline{A}$, tồn tại $f_n \in A$ thỏa mãn (2)$_n$. Gọi $V_n$ là tập hợp tất cả các $x \in X$ sao cho $|f_m(x) - f_m(a)| \leq \frac{1}{n + 1}$ với $0 \leq m \leq n$. Vì $f_n$ liên tục, $V_n$ là một lân cận của $a$; chọn một điểm $x_n$ trong $D \cap V_n$ sao cho $|u(x_n) - u(a)| \geq \varepsilon$, do đó (1)$_n$ và (3)$_{m,n}$ được thỏa mãn. Vậy phép dựng có thể được tiếp tục.

Vì $u(X)$ là một tập con compact của K, tồn tại một dãy $(y_k)$ trích ra từ $(x_m)$ và sao cho giới hạn $\gamma = \lim_{k \to \infty} u(y_k)$ tồn tại. Theo (2)$_m$, ta có $u(x_i) = \lim_{n \to \infty} f_n(x_i)$ với mọi $i \in \mathbf{N}$, do đó

(4)

Mặt khác ta có $f_n(a) = \lim_{i \to \infty} f_n(x_i)$ theo (3)$_{m,i}$ do đó $f_n(a) = \lim_{k \to \infty} f_n(y_k)$. Vì $x_0 = a$, ta suy ra từ (2)$_m$ rằng $\lim_{n \to \infty} f_n(a) = u(a)$. Do đó,

Cuối cùng, từ (1)$_m$, ta được $|\gamma - u(a)| \geq \varepsilon$, và do đó $\gamma \neq u(a)$. Điều này mâu thuẫn với mệnh đề (iv); vậy ta đã chứng minh rằng (iv) kéo theo (i).

Điều kiện đã nêu hiển nhiên là cần.

Giả sử bây giờ rằng mọi dãy vô hạn các điểm của A đều có một điểm giới hạn đối với $\mathscr{T}$, do đó cũng đối với tôpô thô hơn $\sigma(E, E')$. Khi đó A là tiền compact đối với $\mathscr{T}$ (IV, p. 32, mệnh đề 1); để A tương đối compact đối với $\mathscr{T}$, điều kiện cần và đủ là nó tương đối compact đối với $\sigma(E, E')$ (loc. cit.). Do đó đủ để chứng minh định lý khi $\mathscr{T}$ là tôpô yếu $\sigma(E, E')$.

Kí hiệu $\hat{E}$ là hoàn thành của E, mà như thường lệ ta sẽ đồng nhất với một không gian con của đối ngẫu đại số ${E'}^*$ của E' (III, p. 21, đ.l. 2). Kí hiệu $E_\sigma$, $\hat{E}_\sigma$ và ${E_\sigma'}^*$ lần lượt là các không gian E, $\hat{E}$ và ${E'}^*$ được trang bị các tôpô $\sigma(E, E')$, $\sigma(\hat{E}, E')$ và $\sigma({E'}^*, E')$.

Cho $(x'_i)_{i \in I}$ là một cơ sở của không gian vectơ E' trên trường K. Ánh xạ $f \mapsto (f(x'_i))_{i \in I}$ là một đồng phôi $\phi$ từ ${E_\sigma'}^*$ lên $K^I$; với mọi $i \in I$, ảnh của A dưới ánh xạ $x'_i$ từ E vào K là tương đối compact: thật vậy, K khả mê và mọi dãy vô hạn các phần tử của $x'_i(A)$ đều có một điểm giới hạn. Suy ra $\phi(A)$ là tương đối compact trong $K^I$, do đó bao đóng $\overline{A}$ của A trong ${E_\sigma'}^*$ là compact.

Tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng $\overline{A}$ được chứa trong $\hat{E}$. Cho H là một tập hợp đều liên tục của E'; gọi X là bao đóng của nó đối với $\sigma(E', E)$; X là compact (III, p. 17, h.q. 2). Với mọi $x \in {E'}^*$, gọi $\phi_x$ là hạn chế của $x' \mapsto \langle x, x' \rangle$ lên X; gọi $\tilde{A} \subset \mathscr{C}_s(X)$ là tập hợp các hàm $\phi_x$ khi x chạy trong A. Do giả thiết trên A, mọi dãy vô hạn các phần tử của $\tilde{A}$ đều có một điểm giới hạn trong $\mathscr{C}_s(X)$; theo m.đ. 2 (IV, p. 33), vì thế tập hợp $\tilde{A}$ là tương đối compact trong $\mathscr{C}_s(X)$. Suy ra rằng với mọi $a \in \overline{A}$, hàm $\phi_a$ trên X là liên tục. Khi đó phép bao hàm $\overline{A} \subset \hat{E}$ suy ra từ đ.l. 2 của III, p. 21.

Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng $\overline{A}$ được chứa trong E. Vì A là tiền compact trong $E_\sigma$ (IV, p. 32, m.đ. 1), nên nó bị chặn trong $E_\sigma$ (III, p. 3, m.đ. 2), do đó cũng bị chặn trong E (IV, p. 1, m.đ. 1). Gọi C là bao lồi cân bằng đóng của A trong E. Khi đó C bị chặn vì A bị chặn, nên đầy đủ vì E là gần đầy đủ. Nói cách khác, C là một tập con lồi và đóng của $\hat{E}$, do đó cũng của $\hat{E}_\sigma$ (IV, p. 1, m.đ. 1). Vì $A \subset C$ và tôpô của $\hat{E}_\sigma$ được cảm sinh bởi tôpô của ${E_\sigma'}^*$, nên ta có $\overline{A} \subset C$, và vì thế $\overline{A} \subset E$.

Vì tôpô của $E_\sigma$ được cảm sinh bởi tôpô của ${E'_\sigma}^*$, tập con $\overline{A}$ của $E_\sigma$ là compact, và đ.l. 1 được chứng minh.

Định lý 2 (Šmulian). — Cho E là một không gian Fréchet và A là một tập con của E. Gọi $E_\sigma$ là không gian E được trang bị tôpô yếu hơn. Các điều kiện sau là tương đương :

(i) A là tương đối compact trong $E_\sigma$; (ii) mọi dãy vô hạn các điểm của A đều có một điểm giới hạn trong $E_\sigma$; (iii) từ mọi dãy vô hạn các điểm của A, ta có thể trích ra một dãy hội tụ trong $E_\sigma$.

Tính tương đương của (i) và (ii) suy ra từ định lý Eberlein, và (iii) hiển nhiên suy ra (ii).

Chúng tôi sẽ chứng minh rằng (i) kéo theo (iii). Giả sử bao đóng B của A trong $E_\sigma$ là compact và $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một dãy các điểm của A. Ký hiệu F là không gian con vectơ đóng nhỏ nhất của E chứa các $x_n$, đó là một không gian Fréchet thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Vì F đóng trong $E_\sigma$ và tôpô $\sigma(F, F')$ trên F được cảm sinh bởi $\sigma(E, E')$, tập $B \cap F$ là compact đối với $\sigma(F, F')$. Theo các nhận xét ở IV, p. 32, sự tồn tại của một dãy trích từ $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ hội tụ đối với $\sigma(E, E')$ (hay, điều này cũng thế, đối với $\sigma(F, F')$) là một hệ quả của bổ đề sau:

Vì tôpô hội tụ tiền compact trên $F'$ mịn hơn tôpô $\sigma(F', F)$, tồn tại một tập con đếm được trù mật khắp nơi trong $F'_s$ (III, p. 18, hệ quả 1). Do đó tập C có thể được đồng nhất với một tập con của $K^D$, và tôpô cảm sinh trên C bởi tôpô của $K^D$, vốn khả mê (GT, IX, § 2, No. 8), là thô hơn tôpô cảm sinh bởi $\sigma(F, F')$, đối với tôpô này C là compact. Vậy hai tôpô ấy là đồng nhất (GT, I, § 9, No. 4, hệ quả 3).

Định lý của Šmulian có thể được mở rộng cho trường hợp E là giới hạn quy nạp ngặt của một dãy các không gian Fréchet (IV, p. 67, bài tập 2).

Tôpô hội tụ đơn điểm là Hausdorff và thô hơn $\sigma(C(X), C(X)')$, vì thế điều kiện đã nêu là đủ (GT, I, § 9, No. 4, hệ quả 3).

Bây giờ giả sử rằng A compact tương đối đối với tôpô hội tụ đơn điểm. Cho $(f_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một dãy các phần tử của A. Theo mệnh đề 2 (IV, p. 33), tồn tại một dãy $(f_{n_k})$ trích từ $(f_n)$ và hội tụ đơn điểm tới một hàm liên tục f. Theo bổ đề 2, dãy bị chặn $(f_{n_k})$ tiến tới f đối với $\sigma(C(X), C(X)')$. Khi đó định lý của Šmulian (IV, p. 36, th. 2) cho thấy rằng A compact tương đối đối với $\sigma(C(X), C(X)')$.

Cho X là compact hóa Stone-Čech của S (GT, IX, § 1, No. 6) và $\alpha$ là ánh xạ chính tắc từ S vào X. Đặt D = $\alpha(S)$. Ánh xạ $\phi : f \mapsto f \circ \alpha$ là một đẳng cấu từ không gian định chuẩn $C(X)$ lên không gian định chuẩn $C^b(S)$; đặt $\tilde{A} = \phi^{-1}(A)$. Vì X compact và D trù mật trong X, mệnh đề 2 (IV, p. 33) cho thấy rằng điều kiện (ii) tương đương với tính compact của $\tilde{A}$ đối với tôpô hội tụ đơn điểm. Khi đó tính tương đương của (i) và (ii) suy ra từ mệnh đề 3. \*

Trước hết ta sẽ thực hiện vài phép quy giản. A) Tập hợp C là tiền compact đối với $\mathscr{T}$ (II, p. 25, mệnh đề 3), và A là compact đối với $\sigma(E, E')$. Theo mệnh đề 1 (IV, p. 32), chỉ cần chứng minh rằng C là compact đối với $\sigma(E, E')$, và như vậy ta đã quy về trường hợp $\mathscr{T} = \sigma(E, E')$. B) Vì C là tiền compact và đóng đối với $\sigma(E, E')$, nó bị chặn và đóng đối với tôpô ban đầu của E (III, p. 3, mệnh đề 2 và IV, p. 1, mệnh đề 1); do đó nó đầy đủ vì E là gần đầy đủ. Nói cách khác, C là bao lồi cân bằng đóng của $A$ trong đầy đủ hóa $\hat{E}$ của $E$. Vì tôpô $\sigma(\hat{E}, E')$ cảm sinh $\sigma(E, E')$ trên $E$, ta đã quy về trường hợp $E$ là đầy đủ.

C) Kí hiệu $\Gamma$ là bao lồi cân bằng của $A$. Khi đó $C$ là bao đóng của $\Gamma$ đối với $\sigma(E, E')$. Theo định lý Eberlein (IV, p. 35, định lý 1), chỉ cần chứng minh rằng mọi dãy $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ các điểm của $\Gamma$ đều có một điểm giới hạn đối với $\sigma(E, E')$ trong $E$. Nhưng $x_n$ thuộc bao lồi cân bằng của một tập con hữu hạn $B_n$ của $A$. Gọi $F$ là không gian con vectơ đóng của $E$ được sinh bởi tập đếm được $B = \bigcup_n B_n$. Khi đó $F$ là đầy đủ, tôpô $\sigma(F, F')$ trên $F$ được cảm sinh bởi $\sigma(E, E')$ và ta có $x_n \in F$ với mọi $n \in \mathbf{N}$. Vậy chỉ cần chứng minh rằng $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ có một điểm giới hạn đối với $\sigma(F, F')$, điều này cho phép quy về trường hợp trong $E$ tồn tại một tập trù mật đếm được.

Trang bị cho $A$ tôpô cảm sinh bởi $\sigma(E, E')$, khiến nó trở thành một không gian compact. Ta định nghĩa một ánh xạ tuyến tính $u : E' \to \mathscr{C}(A)$ bởi

Gọi $(x'_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một dãy đẳng liên tục trong $E'$, hội tụ về 0 đối với $\sigma(E', E)$. Khi đó dãy các hàm $u(x'_n)$ bị chặn trong $\mathscr{C}(A)$ và hội tụ đơn giản về 0. Với mọi $\mu \in \mathscr{C}(A)'$, ta có $\lim_{n \to \infty} \mu(u(x'_n)) = 0$ theo bổ đề 2 (IV, p. 37). Theo tiêu chuẩn được nêu trong nhận xét ở III, p. 21, dạng tuyến tính $\mu \circ u$ trên $E'$ khi đó liên tục đối với $\sigma(E', E)$ với mọi $\mu \in \mathscr{C}(A)'$. Do đó tồn tại một ánh xạ tuyến tính $v : \mathscr{C}(A)' \to E$ thỏa mãn quan hệ

Hiển nhiên $v$ là liên tục nếu $\mathscr{C}(A)'$ được trang bị tôpô $\sigma(\mathscr{C}(A)', \mathscr{C}(A))$ và $E$ tôpô $\sigma(E, E')$.

Quả cầu đơn vị (đóng) $B$ của không gian Banach $\mathscr{C}(A)$ là compact đối với tôpô $\sigma(\mathscr{C}(A)', \mathscr{C}(A))$ (III, p. 17, hệ quả 3). Do đó, $v(B)$ là một tập con lồi, cân bằng và compact của $E$ đối với $\sigma(E, E')$. Với mọi $a \in A$, dạng tuyến tính liên tục $\varepsilon_a : f \mapsto f(a)$ trên $\mathscr{C}(A)$ thuộc $B$, và ta có $v(\varepsilon_a) = a$ theo các công thức (7) và (8). Suy ra, $A \subset v(B)$, và do đó $C \subset v(B)$. Điều này chứng minh rằng $C$ là compact đối với $\sigma(E, E')$.

Q.E.D.