Exercice 13, § 5

Soient E un espace de Banach non réflexif de type dénombrable, M un sous-espace vectoriel fermé non réflexif de E, de codimension infinie (exerc. 12). Soient $(x_n)$ une suite partout dense dans la sphère unité, C l’enveloppe fermée convexe équilibrée de la suite $(x_n/n)$; C est fortement compact dans E et $C + M = A$ est un ensemble convexe fermé (TG, III, p. 28, cor. 1). Soient S la boule unité dans E, et B = $A \cap S$. a) Montrer que 0 n’est pas point intérieur de A et en déduire qu’il existe $x_0 \in E$ tel que $\lambda x_0 \notin A$ pour $\lambda > 0$. b) Montrer qu’il n’existe aucun hyperplan d’appui de B passant par 0 (remarquer qu’un tel hyperplan devrait être hyperplan d’appui de C). c) Soit $U_0 = M \cap S$, et soit $(U_n)_{n \geq 1}$ une suite décroissante d’ensembles convexes fermés, bornés et non vides, tels que $U_1 \subset \frac{1}{2}U_0$ et que l’intersection des $U_n$ soit vide (IV, p. 69, exerc. 8). Soit F l’enveloppe fermée convexe de la réunion des ensembles $\frac{1}{n}x_0 + U_n$ ($n \geq 1$). Montrer que $B \cap F = \varnothing$ mais qu’il n’existe aucun hyperplan fermé séparant B et F (utiliser b)).