Bài tập 13, § 5

Cho $E$ là một không gian Banach không phản xạ thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, và cho $M$ là một không gian con vectơ đóng không phản xạ của $E$ có đối chiều vô hạn (bài tập 12). Cho $(x_n)$ là một dãy trù mật khắp nơi trong mặt cầu đơn vị, $C$ là bao lồi cân bằng đóng của dãy $(x_n/n)$; $C$ là compact mạnh trong $E$ và $C + M = A$ là một tập lồi đóng (GT, III, § 4, No. 1, hệ quả 1 của mệnh đề 1). Cho $S$ là quả cầu đơn vị trong $E$, và $B = A \cap S$. a) Chứng minh rằng 0 không là một điểm trong của $A$ và suy ra rằng tồn tại $x_0 \in E$ sao cho $\lambda x_0 \notin A$ với $\lambda > 0$. b) Chứng minh rằng không tồn tại siêu phẳng tựa nào của $B$ đi qua 0 (nhận xét rằng một siêu phẳng như vậy phải là một siêu phẳng tựa của $C$). c) Cho $U_0 = M \cap S$, và cho $(U_n)_{n \geq 1}$ là một dãy giảm các tập hợp lồi đóng, bị chặn và không rỗng, sao cho $U_1 \subset \frac{1}{2} U_0$ và sao cho giao của các $U_n$ là rỗng (IV, p. 68, bài tập 8). Cho $F$ là bao lồi đóng của hợp các tập hợp $\frac{1}{n} x_0 + U_n$ ($n \geq 1$). Chứng minh rằng $B \cap F = \varnothing$ nhưng không tồn tại siêu phẳng đóng nào phân ly $B$ và $F$ (dùng b).