Exercice 14, § 5

Soit E un espace de Banach de type dénombrable. On appelle base banachique de E une suite $(e_n)_{n \geq 0}$ d’éléments de E ayant la propriété suivante : pour tout $x \in E$, il existe une suite $(a_n)$ de scalaires et une seule telle que $x = \sum_{n=0}^{\infty} a_n e_n$, où la série du second membre est convergente.

a) Montrer que la famille $(e_n)$ est totale et libre. Soit $E_n$ le sous-espace vectoriel (fermé) de E engendré par les $e_m$ d’indice $m \leq n$, et soit $P_n$ le projecteur de E sur $E_n$ défini par

Montrer que les $P_n$ sont des applications linéaires continues et que (Considérer sur E la norme $\|\sum_{n=0}^{\infty} a_n e_n\| = \sup_n \|\sum_{m=0}^{n} a_m e_m\|$; montrer que pour cette norme E est complet et en déduire qu’elle est équivalente à la norme donnée sur E (cf. I, p. 17, th. 1).) Montrer que, pour tout couple d’entiers $p < q$, la norme de la projection $P_{q,p}$ de $E_q$ sur $E_p$, parallèlement au sous-espace vectoriel engendré par les $e_m$ d’indice tel que $p+1 \leq m \leq q$, est bornée par un nombre indépendant de $p, q$.

b) Inversement, soit $(e_n)$ une suite totale d’éléments de E, qui est une famille libre et est telle que les normes des projections $P_{q,p}$ pour $0 \leq p < q$ soient bornées par un nombre M indépendant de $p$ et $q$. Montrer que $(e_n)$ est une base banachique de E. (Prouver d’abord que la suite $(e_n)$ est topologiquement libre, ce qui permet de définir les projecteurs $P_n$; on a $\|P_n\| \leq M$ pour tout $n$. Remarquer ensuite que si $d(x, E_n)$ est la distance d’un point $x \in E$ à $E_n$, on a $\|x - P_n \cdot x\| \leq (M+1)\ d(x, E_n).$)¹