Bài tập 14, § 5

Cho $E$ là một không gian Banach thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Một dãy $(e_n)_{n \geq 0}$ các phần tử của $E$ được gọi là một cơ sở Banach nếu tính chất sau được thỏa mãn: với mọi $x \in E$, tồn tại một dãy duy nhất $(a_n)$ các vô hướng sao cho $x = \sum_{n=0}^\infty a_n e_n$, trong đó chuỗi ở vế phải là hội tụ. a) Chứng minh rằng họ $(e_n)$ là toàn phần và tự do. Cho $E_n$ là không gian con vectơ (đóng) của $E$ sinh bởi các $e_m$ với các chỉ số $m \leq n$, và cho $P_n$ là phép chiếu từ $E$ lên $E_n$ được định nghĩa bởi $P_n \cdot (\sum_{m=0}^\infty a_m e_m) = \sum_{m=0}^n a_m e_m$. Chứng minh rằng các $P_n$ là các ánh xạ tuyến tính liên tục và rằng $\sup_n \|P_n\| < +\infty$. (Xét chuẩn trên $E$ được định nghĩa bởi $\left\| \sum_{n=0}^\infty a_n e_n \right\| = \sup_n \left\| \sum_{m=0}^n a_m e_m \right\|$; chứng minh rằng $E$ là đầy đủ đối với chuẩn này và suy ra rằng nó tương đương với chuẩn đã cho trên $E$ (cf. I, p. 17, th. 1).) Chứng minh rằng với mọi cặp số nguyên $p < q$, chuẩn của phép chiếu $P_{q,p}$ của $E_q$ lên $E_p$, song song với không gian con vectơ sinh bởi các $e_m$ với các chỉ số $m$ sao cho $p + 1 \leq m \leq q$, bị chặn bởi một số độc lập với $p, q$. b) Ngược lại, cho $(e_n)$ là một dãy toàn phần các phần tử của $E$, là một họ tự do và sao cho các chuẩn của các phép chiếu $P_{q,p}$ với $0 \leq p < q$ bị chặn bởi một số $M$ độc lập với $p$ và $q$. Chứng minh rằng $(e_n)$ là một cơ sở Banach của $E$. (Trước hết chứng minh rằng dãy $(e_n)$ là tự do tôpô và định nghĩa các phép chiếu $P_n$; khi đó $\|P_n\| \leq M$ với mọi $n$. Tiếp theo nhận xét rằng nếu $d(x, E_n)$ là khoảng cách của một điểm $x \in E$ đến $E_n$, thì $\|x - P_n \cdot x\| \leq (M + 1)\ d(x, E_n)$.)[^1]

[^1]: Rõ ràng rằng sự tồn tại của một cơ sở Banach trong $E$ kéo theo rằng $E$ thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Nhưng có những ví dụ về các không gian Banach thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất trong đó không tồn tại một cơ sở Banach (P. Enflo, Acta Math., t. CXXX (1973), p. 309-317).