Exercice 16, § 5

a)** Soit E un espace de Banach. Pour une suite infinie $(x_n)$ de points de E, les propriétés suivantes sont équivalentes : α) La série de terme général $x_n$ est commutativement convergente (TG, III, p. 44). β) Pour toute partie I de $\mathbf{N}$, la série définie par la suite $(x_n)_{n\in I}$ est convergente (TG, III, p. 39, prop. 2 et p. 79, exerc. 4). γ) Pour toute suite $(\varepsilon_n)$ de nombres égaux à 1 ou à $-1$, la série de terme général $\varepsilon_n x_n$ est convergente. δ) Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une partie finie J de $\mathbf{N}$ telle que, pour toute partie finie H de $\mathbf{N}$ ne rencontrant pas J, on ait

b) Soit $(e_n)$ une base banachique de E. Les propriétés suivantes sont équivalentes : α) Pour toute permutation $\pi$ de $\mathbf{N}$, la suite $(e_{\pi(n)})$ est une base banachique de E. β) Pour toute suite $(\varepsilon_n)$ de nombres égaux à 1 ou à $-1$, la suite $(\varepsilon_n e_n)$ est une base banachique de E. γ) Pour tout $x = \sum_{n=0}^\infty \xi_n e_n$ dans E et toute suite $(\eta_n)_{n\in\mathbf{N}}$ pour laquelle $|\eta_n| \leq |\xi_n|$ pour tout $n \in \mathbf{N}$, la série de terme général $\eta_n e_n$ converge dans E. δ) Pour tout $x = \sum_{n=0}^\infty \xi_n e_n$ dans E et toute suite strictement croissante $(n_k)_{k\in\mathbf{N}}$ d’entiers $\geq 0$, la série de terme général $\xi_{n_k} e_{n_k}$ converge dans E. ε) Il existe un nombre réel $M > 0$ tel que, pour toute partie finie J de $\mathbf{N}$ et tout $x = \sum_{n=0}^\infty \xi_n e_n$ dans E, on ait

(Pour prouver que α) entraîne ε), raisonner comme dans IV, p. 70, exerc. 14. Pour prouver que β) entraîne γ), se ramener au cas où les $\xi_n$ et les $\eta_n$ sont réels, et considérer les sommes pour $x' \in E'$.) Lorsque ces conditions sont remplies, on dit que $(e_n)$ est une base banachique inconditionnelle de E. c) On suppose la base $(e_n)$ inconditionnelle. Montrer qu’il existe un nombre réel $K > 0$ tel que, pour toute suite $(\varepsilon_n)$ de nombres égaux à 1 ou $-1$ et pour tout $x = \sum_{n=0}^\infty \xi_n e_n$ dans E, on a (même méthode que dans IV, p. 70, exerc. 14). En déduire que pour toute suite bornée $(\lambda_n)$ de scalaires et tout $x = \sum_{n=0}^\infty \xi_n e_n$ dans X, on a (raisonner comme pour prouver que β) entraîne γ) dans b)).