Bài tập 16, § 5

a) Cho E là một không gian Banach. Đối với một dãy vô hạn $(x_n)$ các điểm của E, các tính chất sau là tương đương : α) Chuỗi có số hạng tổng quát $x_n$ là hội tụ giao hoán (GT, III, § 5, No. 7). β) Với mọi tập con I của $\mathbf{N}$, chuỗi được xác định bởi dãy $(x_n)_{n \in I}$ là hội tụ (GT, III, § 5, No. 3, prop. 2 và § 5, exerc. 4). γ) Với mọi dãy $(\varepsilon_n)$ các số bằng 1 hoặc bằng $-1$, chuỗi có số hạng tổng quát $\varepsilon_n x_n$ là hội tụ. δ) Với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập con hữu hạn J của $\mathbf{N}$ sao cho, với mọi tập con hữu hạn H của $\mathbf{N}$ không giao với J, ta có $\left\| \sum_{n \in H} x_n \right\| \leq \varepsilon$.

b) Cho $(e_n)$ là một cơ sở Banach của E. Các tính chất sau là tương đương : α) Với mọi phép hoán vị $\pi$ của $\mathbf{N}$, dãy $(e_{\pi(n)})$ là một cơ sở Banach của E. β) Với mọi dãy $(\varepsilon_n)$ các số bằng 1 hoặc bằng $-1$, dãy $(\varepsilon_n e_n)$ là một cơ sở Banach của E. γ) Với mọi $x = \sum_{n=0}^\infty \xi_n e_n$ trong E và mọi dãy $(\eta_n)_{n \in \mathbf{N}}$ sao cho $|\eta_n| \leq |\xi_n|$ với mọi $n$, chuỗi có số hạng tổng quát $\eta_n e_n$ hội tụ trong E. δ) Với mọi $x = \sum_{n=0}^\infty \xi_n e_n$ trong E và mọi dãy tăng ngặt $(n_k)_{k \in \mathbf{N}}$ các số nguyên $\geq 0$, chuỗi có số hạng tổng quát $\xi_{n_k} e_{n_k}$ hội tụ trong E. ε) Tồn tại một số thực $M > 0$ sao cho, với mọi tập con hữu hạn J của $\mathbf{N}$ và mọi $x = \sum_{n=0}^\infty \xi_n e_n$ trong E, ta có $\left\| \sum_{n \in J} \xi_n e_n \right\| \leq M \|x\|$.

(Để chứng minh rằng α) kéo theo ε), lập luận như trong IV, p. 69, exerc. 14. Để chứng minh rằng β) kéo theo γ), rút gọn về trường hợp các $\xi_n$ và các $\eta_n$ là thực, và xét các tổng $\sum_{n=p}^q \langle \eta_n e_n, x' \rangle$ với $x' \in E'$.)

Khi các điều kiện này được thỏa mãn, $(e_n)$ được gọi là một cơ sở Banach không điều kiện của E.

c) Giả sử $(e_n)$ là một cơ sở không điều kiện. Chứng minh rằng tồn tại một số thực $K > 0$ sao cho, với mọi dãy $(\varepsilon_n)$ các số bằng 1 hoặc $-1$ và mọi $x = \sum_{n=0}^\infty \xi_n e_n$ trong E, ta có $\left\| \sum_{n=0}^\infty \varepsilon_n \xi_n e_n \right\| \leq M \|x\|$ (cùng phương pháp như trong IV, p. 69, exerc. 14). Suy ra rằng với mọi dãy bị chặn các vô hướng $(\lambda_n)$ và mọi $x = \sum_{n=0}^\infty \xi_n e_n$ trong X, ta có

(lập luận như trong b), đối với chứng minh rằng $\beta$ kéo theo $\gamma$).