Exercice 18, § 5

a) On considère, dans l’espace $\mathbf{R}^{\mathbf{N}}$ de toutes les suites infinies de nombres réels, l’ensemble J des suites $x = (\xi_n)$ pour lesquelles le nombre

est fini, la borne supérieure étant prise pour tous les entiers $m \geq 1$ et toutes les suites strictement croissantes d’entiers $p_1 < p_2 < \cdots < p_{m+1}$. Montrer que $\|x\|$ est une norme sur J et que pour cette norme J est un espace de Banach. Pour tout $x \in E$, montrer que la suite $(\xi_n)$ a une limite finie $u(x)$ et que $u$ est une forme linéaire $\neq 0$ et continue dans E ; on désigne par $J_0$ l’hyperplan fermé de J d’équation $u(x) = 0$ (espace de R. C. James). b) Montrer que les vecteurs $e_n = (\delta_{mn})_{m \geq 0}$ forment une base banachique de $J_0$, et que cette base est contractante (IV, p. 70, exerc. 15). (Pour prouver ce dernier point, raisonner comme dans l’exerc. 17, a), en montrant que la suite $(y_k)$ construite est telle que la série de terme général $y_k/k$ soit convergente dans E, ce qui entraîne contradiction.) c) Montrer que l’application identique de $J_0$ sur lui-même se prolonge en un isomorphisme d’espaces vectoriels topologiques du bidual fort $J_0''$ sur J, de sorte que $J_0''/J_0$ est de dimension 1 (utiliser IV, p. 70, exerc. 15, b)). En déduire qu’aucune base banachique de $J_0$ ne peut être inconditionnelle (exerc. 17, c)). d) Soient $H_1, H_2$ les sous-espaces vectoriels fermés de $J_0$ engendrés respectivement par les $e_{2n}$ et les $e_{2n+1}$ pour $n \geq 0$. Montrer que $H_1$ et $H_2$ sont isomorphes, en tant qu’espaces vectoriels topologiques, à l’espace de Hilbert $\ell^2(\mathbf{N})$, et que $J_0$ n’est pas somme de $H_1$ et $H_2$. \ e) Montrer qu’il n’existe sur $J_0$ aucune structure d’espace localement convexe complexe ayant la structure d’espace localement convexe réel de $J_0$ comme structure sous-jacente (cf. IV, p. 52, exerc. 3).