Bài tập 18, § 5

a) Trong không gian $\mathbf{R}^N$ của tất cả các dãy vô hạn các số thực, xét tập hợp J gồm tất cả các dãy $x = (\xi_n)$ sao cho số

là hữu hạn, lấy supremum trên tất cả các số nguyên $m \geq 1$ và trên tất cả các dãy tăng ngặt các số nguyên $p_1 < p_2 < \cdots < p_{m+1}$. Chứng minh rằng $\|x\|$ là một chuẩn trên J và rằng với chuẩn này J là một không gian Banach. Với mọi $x \in E$, chứng minh rằng dãy $(\xi_n)$ có một giới hạn hữu hạn $u(x)$ và rằng $u$ là một dạng tuyến tính liên tục khác không trên E; gọi $J_0$ là siêu phẳng đóng của J có phương trình $u(x) = 0$ (không gian của R. C. James). b) Chứng minh rằng các vectơ $e_n = (\delta_{mn})_{m \geq 0}$ tạo thành một cơ sở Banach của $J_0$ và cơ sở này là co (IV, p. 70, bài tập 15). (Để chứng minh điểm sau, lập luận như trong bài tập 17, a), bằng cách chứng minh rằng dãy được xây dựng $(y_k)$, có tính chất là chuỗi với số hạng tổng quát $y_k/k$ hội tụ trong E; điều này dẫn đến một mâu thuẫn.) c) Chứng minh rằng ánh xạ đồng nhất từ $J_0$ lên chính nó có thể được mở rộng thành một đẳng cấu không gian vectơ tôpô từ song đối mạnh $J_0''$ lên J, sao cho $J_0''/J_0$ có chiều 1 (dùng IV, p. 70, bài tập 15, b)). Suy ra rằng không có cơ sở Banach nào của $J_0$ có thể là không điều kiện (bài tập 17, c)). d) Cho $H_1, H_2$ là hai không gian con vectơ đóng của $J_0$ sinh bởi các $e_{2n}$ và các $e_{2n+1}$ tương ứng, với $n \geq 0$. Chứng minh rằng, với tư cách là các không gian vectơ tôpô, $H_1$ và $H_2$ đẳng cấu với không gian Hilbert $\ell^2(\mathbf{N})$, và rằng $J_0$ không phải là tổng của $H_1$ và $H_2$.*. e) Chứng minh rằng trên $J_0$ không tồn tại một cấu trúc không gian lồi địa phương phức có cấu trúc không gian lồi địa phương thực của $J_0$ làm cấu trúc nền (xem. IV, p. 52, bài tập 3).