Exercice 2, § 5

a) Soient X un espace régulier et A une partie de X. On suppose que toute suite de points de A a une valeur d'adhérence dans X, et qu'il existe sur X une topologie métrisable $\mathscr{T}$ moins fine que la topologie donnée $\mathscr{T}_0$. Montrer que l'adhérence $\overline{A}$ de A dans X est un espace compact métrisable (montrer, en raisonnant par l'absurde, que les topologies induites sur $\overline{A}$ par $\mathscr{T}$ et $\mathscr{T}_0$ sont identiques). b) Soit E un espace localement convexe séparé, réunion d'une suite $(E_n)$ de sous-espaces vectoriels métrisables pour la topologie induite par celle de E. Montrer que, pour qu'une partie A de E soit relativement compacte dans E, il faut et il suffit que toute suite de points de A ait une valeur d'adhérence dans E. (Si $(W_{mn})$ (pour $m \geq 1$) est un système fondamental de voisinages convexes de 0 dans $E_n$, ouverts dans $E_n$, soit $U_{mn}$ un voisinage convexe de 0 dans $E$ tel que $E_n \cap U_{mn} = W_{mn}$ (II, p. 35, lemme 2); considérer la topologie sur $E$ pour laquelle les $U_{mn}$ ($m \geqslant 1,\ n \geqslant 1$) forment un système fondamental de voisinages de 0.) c) Étendre le th. de Smulian à un espace limite inductive stricte (II, p. 36) d’espaces de Fréchet.