Bài tập 2, § 5

a) Cho X là một không gian chính quy và A là một tập con của X. Giả sử rằng mọi dãy các điểm của A đều có một điểm giới hạn trong X và tồn tại một tôpô mêtric T trên X thô hơn tôpô đã cho T_0. Hãy chỉ ra rằng bao đóng Ā của A trong X là một không gian compact mêtric (bằng cách lập luận phản chứng, hãy chỉ ra rằng các tôpô cảm sinh bởi T và T_0 trên Ā là đồng nhất). b) Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff, là hợp của một dãy (E_n) các không gian con vectơ mêtric đối với tôpô cảm sinh bởi tôpô của E. Hãy chỉ ra rằng, để một tập con A của E là tương đối compact trong E, điều kiện cần và đủ là mọi dãy các điểm của A đều có một điểm giới hạn trong E. (Nếu (W_{mn}) (với m ≥ 1) là một hệ cơ bản các lân cận lồi của 0 trong E_n mở trong E_n, hãy lấy U_{mn} là một lân cận lồi của 0 trong E sao cho E_n ∩ U_{mn} = W_{mn} (II, p. 33, bổ đề 2); trên E xét tôpô mà đối với nó các U_{mn} (m ≥ 1, n ≥ 1) tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của 0). c) Mở rộng định lý Šmulian cho một không gian giới hạn quy nạp ngặt (II, p. 33) của các không gian Fréchet.