Exercice 3, § 5

a) Soit $E$ un espace localement convexe séparé, tel qu’il existe dans le dual $E'$ de $E$ une partie dénombrable partout dense pour $\sigma(E',\ E)$. Montrer que la topologie de $E$ (resp. $\sigma(E,\ E')$) est plus fine qu’une topologie localement convexe métrisable. b) Soit $(x_n)$ une suite de points de $E$ telle que toute suite extraite de $(x_n)$ admette une valeur d’adhérence pour la topologie initiale (resp. la topologie $\sigma(E,\ E')$). Montrer qu’il existe une suite extraite de $(x_n)$ et qui converge dans $E$ pour la topologie initiale (resp. la topologie $\sigma(E,\ E')$). (Soit $(a'_n)$ une suite partout dense dans $E'$ pour $\sigma(E',\ E)$; extraire de $(x_n)$ une suite $(y_n)$ telle que $\langle y_n,\ a'_p \rangle$ tende vers une limite pour tout indice $p$, et montrer que la suite $(y_n)$ n’a qu’une seule valeur d’adhérence pour la topologie initiale (resp. pour $\sigma(E,\ E')$).) c) Pour qu’une partie $A$ de $E$ soit relativement compacte pour la topologie initiale (resp. pour $\sigma(E,\ E')$), il faut et il suffit que de toute suite $(x_n)$ de points de $A$, on puisse extraire une suite $(x_{n_k})$ qui converge vers un point de $E$ pour la topologie initiale (resp. pour $\sigma(E,\ E')$) (utiliser l’exerc. 2, a)).