Bài tập 3, § 5

a) Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff và E' là đối ngẫu của nó; giả sử rằng tồn tại một tập đếm được trù mật khắp nơi trong E' đối với tôpô σ(E', E). Hãy chứng minh rằng tôpô của E (tương ứng σ(E, E')) mịn hơn một tôpô lồi địa phương mêtric hóa được. b) Cho (x_n) là một dãy các điểm của E sao cho mọi dãy trích xuất từ (x_n) đều có một điểm giới hạn đối với tôpô ban đầu (tương ứng tôpô σ(E, E')). Hãy chứng minh rằng tồn tại một dãy trích xuất từ (x_n) hội tụ trong E đối với tôpô ban đầu (tương ứng tôpô σ(E, E')). (Cho (a'_n) là một dãy trù mật khắp nơi trong E' đối với σ(E', E); hãy trích xuất một dãy (y_n) từ (x_n) sao cho ⟨y_n, a'_p⟩) dần tới một giới hạn với mọi chỉ số p, và chứng minh rằng dãy (y_n) chỉ có một điểm giới hạn duy nhất đối với tôpô ban đầu (tương ứng đối với σ(E, E')).) c) Để một tập con A của E là tương đối compact đối với tôpô ban đầu (tương ứng đối với σ(E, E')), điều kiện cần và đủ là từ mọi dãy (x_n) các điểm của A, ta có thể trích xuất một dãy (x_{nk}) hội tụ tới một điểm của E đối với tôpô ban đầu (tương ứng đối với σ(E, E')) (dùng bài tập 2, a)).