Exercice 4, § 5

Soit $E$ l’espace de Banach $\ell^\infty(\mathbf{N})$, qui n’est pas de type dénombrable (I, p. 25, exerc. 1), et soit $E'$ son dual. Pour tout entier $n \geqslant 0$, soit $e'_n$ la forme linéaire continue sur $E$ qui, à tout $x = (\xi_n) \in E$ fait correspondre le $n$-ième terme $\xi_n$ de cette suite. Montrer que la suite $(e'_n)$ est totale dans $E'$ pour $\sigma(E',\ E)$; en outre, toute suite extraite de $(e'_n)$ admet une valeur d’adhérence dans $E'$ pour la topologie $\sigma(E',\ E)$, mais il n’existe aucune suite extraite de $(e'_n)$ qui converge dans $E'$ pour cette topologie.