Bài tập 4, § 5

Cho E là không gian Banach $\ell$^∞(\mathbf{N}), không thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất (I, p. 25, Bài tập 1), và cho E' là đối ngẫu của nó. Với mỗi số nguyên n ≥ 0, cho e'_n là dạng tuyến tính liên tục trên E gán cho mỗi $x = (\xi_n) \in E$ số hạng thứ n của dãy này. Chứng minh rằng dãy $(e'_n)$ là toàn phần trong $E'$ đối với $\sigma(E', E)$; hơn nữa, mọi dãy trích ra từ $(e'_n)$ đều có một điểm giới hạn trong $E'$, đối với tôpô $\sigma(E', E)$, nhưng không tồn tại dãy nào trích ra từ $(e'_n)$ hội tụ trong $E'$ đối với tôpô này.