Exercice 5, § 5

a) Soient $X$ un espace compact, $H$ une partie quelconque de l’espace $\mathscr{C}(X)$ des fonctions numériques continues dans $X$. Soit $f_0$ un point de $\mathscr{C}(X)$ adhérent à $H$ pour la topologie $\mathscr{T}_s$ de la convergence simple sur $\mathscr{C}(X)$. Montrer qu’il existe une partie dénombrable $H_0$ de $H$ telle que $f_0$ soit adhérent à $H_0$ pour $\mathscr{T}_s$. (Pour tout couple d’entiers $m > 0,\ n > 0$, montrer qu’il existe une partie finie $H(m,\ n)$ de $H$ possédant la propriété suivante : pour tout ensemble de $m$ points $t_k$ de $X$ ($1 \leqslant k \leqslant m$), il existe $f \in H(m,\ n)$ telle que $|f_0(t_k) - f(t_k)| \leqslant 1/n$ pour $1 \leqslant k \leqslant m$.) b) Soient $E$ un espace localement convexe métrisable, $E'$ son dual, $H$ une partie de $E$. Montrer que, si $x_0$ est adhérent à $H$ pour la topologie affaiblie $\sigma(E,\ E')$, il existe une partie dénombrable $H_0$ de $H$ telle que $x_0$ soit adhérent à $H_0$ pour cette topologie. (Utiliser $a$), en remarquant que $E'$ est réunion dénombrable d’ensembles compacts pour $\sigma(E',\ E)$.)