Bài tập 5, § 5

a) Cho X là một không gian compact, H là một tập con tùy ý của không gian $\mathscr{C}(X)$ gồm các hàm số liên tục nhận giá trị số trên X. Cho $f_0$ là một điểm của $\mathscr{C}(X)$ thuộc bao đóng của H đối với tôpô $\mathscr{T}_s$ của sự hội tụ đơn giản trên $\mathscr{C}(X)$. Chứng minh rằng tồn tại một tập con đếm được $H_0$ của H sao cho $f_0$ thuộc bao đóng của $H_0$ đối với $\mathscr{T}_s$. (Chứng minh rằng với mọi cặp số nguyên $m > 0, n > 0$ tồn tại một tập con hữu hạn $H(m, n)$ của H có tính chất sau : đối với mọi tập hợp gồm m điểm $t_k$ trong X $(1 \leq k \leq m)$, tồn tại $f \in H(m, n)$ sao cho $|f_0(t_k) - f(t_k)| \leq 1/n$ với $1 \leq k \leq m.$) b) Cho E là một không gian lồi địa phương mêtric hóa được, $E'$ là đối ngẫu của nó và H là một tập con của E. Chứng minh rằng nếu $x_0$ thuộc bao đóng của H đối với tôpô yếu $\sigma(E, E')$, thì tồn tại một tập con đếm được $H_0$ của H sao cho $x_0$ thuộc bao đóng của $H_0$ đối với tôpô này. (Dùng a), nhận thấy rằng $E'$ là hợp của một họ đếm được các tập hợp compact đối với $\sigma(E', E').$)