Exercice 6, § 5

a) Soient $X$ un espace compact, $H$ une partie convexe de l’espace produit $\mathbf{R}^X$, formée de fonctions continues dans $X$. On suppose que toute suite décroissante de parties convexes non vides et fermées dans $H$ admette une intersection non vide. Montrer que l’adhérence $\overline{H}$ de $H$ dans $\mathbf{R}^X$ est compacte et formée de fonctions continues dans $X$. (Raisonner par l’absurde en considérant une fonction $u \in \overline{H}$ non continue : montrer qu’il existerait un point $a \in X$, un nombre $\delta > 0$, une suite $(x_n)$ de points de $X$ et une suite $(f_m)$ de fonctions de $H$, tels que : $1^o\ |u(x_n) - u(a)| \geqslant \delta$ pour tout $n$; $2^o\ |f_m(x_n) - f_m(a)| \leqslant \frac{\delta}{8}$ pour $m \leqslant n$; $3^o\ |u(x_n) - f_m(x_n)| \leqslant \frac{\delta}{8}$ et $|u(a) - f_m(a)| \leqslant \frac{\delta}{8}$ pour $m \geqslant n + 1$. Considérer une valeur d’adhérence $b$ de la suite $(x_n)$, et une fonction $f$ qui appartienne à l’intersection des $A_m$, où $A_m$ est l’enveloppe fermée convexe dans $H$ de l’ensemble des $f_k$ pour $k \geqslant m$.) b) Soient $E$ un espace localement convexe séparé et quasi-complet, $E'$ son dual. Soit $H$ une partie convexe de $E$ telle que toute suite décroissante de parties convexes de $H$, non vides et fermées dans $H$, admette une intersection non vide ; montrer que $H$ est relativement compact dans $E$ pour la topologie $\sigma(E,\ E')$. (Se ramener au cas où $E$ est complet ; considérer $E$ comme plongé dans ${E'}^*$ et utiliser $a$ ainsi que III, p. 21, cor. 1.)