Bài tập 6, § 5

a) Cho X là một không gian compact, H là một tập con lồi của không gian tích $\mathbf{R}^X$, gồm các hàm liên tục trên X. Giả sử rằng mọi dãy giảm các tập con không rỗng, lồi và đóng trong H đều có giao không rỗng. Chứng minh rằng bao đóng $\overline{H}$ của H trong $\mathbf{R}^X$ là compact và gồm các hàm liên tục trên X. (Lập luận bằng phản chứng: xét một hàm không liên tục $u \in \overline{H}$; chứng minh rằng khi đó tồn tại một điểm $a \in X$, một số $\delta > 0$, một dãy $(x_n)$ các điểm của X và một dãy $(f_m)$ các hàm trong H sao cho : $1^\circ\ |u(x_n) - u(a)| \geq \delta$ với mọi $n$; $2^\circ\ |f_m(x_n) - f_m(a)| \leq \frac{\delta}{8}$ với $m \leq n$; $3^\circ\ |u(x_n) - f_m(x_n)| \leq \frac{\delta}{8}$ và $|u(a) - f_m(a)| \leq \frac{\delta}{8}$ với $m \geq n + 1$. Xét một điểm giới hạn b của dãy $(x_n)$, và một hàm $f$ thuộc giao của các $A_m$, trong đó $A_m$ là bao lồi đóng trong H của tập hợp tất cả các $f_k$ với $k \geq m$. b) Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff và gần đầy đủ, $E'$ là đối ngẫu của nó. Cho H là một tập con lồi của E sao cho mọi dãy giảm các tập con không rỗng và đóng, lồi của H đều có giao không rỗng; chứng minh rằng H là tương đối compact trong E đối với tôpô $\sigma(E, E')$. (Rút gọn về trường hợp E là đầy đủ; xem E được nhúng vào ${E'}^*$ và sử dụng a) cũng như III, p. 21, hệ quả 1.)