Exercice 10, § 1

Espaces vectoriels topologiques, V, p. 61

Soient E un espace hilbertien réel, B une forme bilinéaire sur $E \times E$ , $c_1, c_2$ deux nombres $> 0$ tels que l’on ait

\begin{align*} |B(x, y)| &\leq c_1 \|x\| \cdot \|y\| \quad \text{quels que soient } x, y \text{ dans } E; \\ |B(x, x)| &\geq c_2 \|x\|^2 \quad \text{quel que soit } x \in E. \end{align*}

Montrer que pour toute forme linéaire continue $f$ sur E, il existe un unique élément $x_f \in E$ (resp. $y_f \in E$ ) tel que $f(x) = B(x_f, x)$ (resp. $f(x) = B(x, y_f)$ ) quel que soit $x \in E$ .

Solution

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