Exercice 11, § 1

Soient E un espace hilbertien, $(x_n)$ une suite de points de E qui converge faiblement vers un point $a$. Pour tout $y \in E$, on pose

Montrer que l’on a $d(y)^2 = d(a)^2 + \|y - a\|^2$ et $D(y)^2 = D(a)^2 + \|y - a\|^2$. Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux nombres réels tels que $0 \leq \alpha \leq \beta$, donner des exemples où $d(a) = \alpha$ et $D(a) = \beta$.