Bài tập 11, § 1

Cho E là một không gian Hilbert, và $(x_n)$ là một dãy các điểm của E hội tụ yếu đến một điểm $a$. Với mọi $y \in E$, ta đặt

Chứng minh rằng $d(y)^2 = d(a)^2 + \|y - a\|^2$ và $D(y)^2 = D(a)^2 + \|y - a\|^2$. Nếu $\alpha$ và $\beta$ là hai số thực sao cho $0 \leq \alpha \leq \beta$, hãy cho các ví dụ trong đó $d(a) = \alpha$ và $D(a) = \beta$.