Exercice 13, § 1

a) Soit $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ une suite infinie dans un espace de Banach E. Montrer que, pour que la famille $(x_n)$ soit sommable, il faut et il suffit que, pour toute suite $(\varepsilon_n)$ de nombres égaux à 1 ou à $-1$, la série de terme général $(\varepsilon_n x_n)$ soit convergente (utiliser TG, III, p. 79, § 5, exerc. 4). b) Soit $(x_j)_{1 \leq j \leq n}$ une suite finie de points d’un espace hilbertien E. Montrer que l’on a

c) Déduire de b) que si $(x_i)_{i \in I}$ est une famille sommable dans un espace hilbertien E, la famille $(\|x_i\|^2)_{i \in I}$ est sommable dans $\mathbf{R}$.