Bài tập 13, § 1

a) Cho $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một dãy vô hạn trong một không gian Banach E. Bây giờ chứng minh rằng, để họ $(x_n)$ là khả tổng, điều kiện cần và đủ là, với mọi dãy $(\varepsilon_n)$ gồm các số bằng 1 hoặc bằng $-1$, chuỗi có số hạng tổng quát $(\varepsilon_n x_n)$ là hội tụ (dùng TG, III, p. 79, § 5, exerc. 4). b) Cho $(x_j)_{1 \leq j \leq n}$ là một dãy hữu hạn các điểm của một không gian Hilbert E. Bây giờ chứng minh rằng ta có

c) Suy ra từ b) rằng nếu $(x_i)_{i \in I}$ là một họ khả tổng trong một không gian Hilbert E, thì họ $(\|x_i\|^2)_{i \in I}$ là khả tổng trong $\mathbf{R}$.