Exercice 15, § 1

Soient E un espace hilbertien complexe, $E_1, E_2$ deux sous-espaces vectoriels fermés de E, $P_1, P_2$ les orthoprojecteurs de E sur $E_1, E_2$ respectivement. a) Montrer que, pour que $P_1$ et $P_2$ commutent, il faut et il suffit que E soit somme hilbertienne des quatre sous-espaces $E_1 \cap E_2, E_1^\circ \cap E_2^\circ, E_1^\circ \cap E_2, E_1 \cap E_2^\circ$ (où l’on note $M^\circ$ le supplémentaire orthogonal d’un sous-espace vectoriel M de E). b) Montrer que si $E_1$ est de dimension finie et $\|P_1 - P_2\| < 1$, $E_2$ a la même dimension que $E_1$ (considérer l’intersection $E_1^\circ \cap E_2$). c) Montrer que l’endomorphisme $T = (P_1 - P_2)^2$ de E commute avec $P_1$ et $P_2$, et que le sous-espace propre de $T$ correspondant à la valeur propre 0 (resp. 1) est la somme directe des sous-espaces orthogonaux $E_1 \cap E_2$ et $E_1^\circ \cap E_2^\circ$ (resp. $E_1^\circ \cap E_2$ et $E_1 \cap E_2^\circ$). d) On suppose que E est de dimension finie et que $T = \lambda I$ avec $\lambda \neq 0$. On a alors $\lambda > 0$ et E est somme hilbertienne de sous-espaces de dimension $\leq 2$, dont chacun est stable par $P_1$ et $P_2$ (remarquer que $P_1 - P_2$ est hermitien et en déduire que E est somme hilbertienne de deux sous-espaces $E^+ , E^-$ tels que $P_1 . x - P_2 . x = \sqrt{\lambda} x$ dans $E^+$ et $P_1 . x - P_2 . x = -\sqrt{\lambda} x$ dans $E^-$; montrer alors que pour $x \in E^+$, on a $P_1 . x = \frac{1 + \sqrt{\lambda}}{2} x + z$ et $P_2 . x = \frac{1 - \sqrt{\lambda}}{2} x + z$, avec $z \in E^-$).

e) On suppose que $E_1$ et $E_2$ sont de dimension finie. Montrer qu’il existe une famille $(F_\alpha)_{\alpha \in A}$ de sous-espaces de dimension $\leq 2$ de E telle que E, $E_1$ et $E_2$ soient respectivement sommes hilbertiennes des familles $(F_\alpha)_{\alpha \in A}$, $(F_\alpha \cap E_1)_{\alpha \in A}$ et $(F_\alpha \cap E_2)_{\alpha \in A}$ (utiliser c) pour se ramener au cas où E est de dimension finie, puis appliquer d)).