Bài tập 15, § 1

Cho E là một không gian Hilbert phức, $E_1, E_2$ là hai không gian con vectơ đóng của E, $P_1, P_2$ là các phép chiếu trực giao từ E lên $E_1, E_2$ tương ứng. a) Chứng minh rằng, để $P_1$ và $P_2$ giao hoán, điều kiện cần và đủ là E là tổng Hilbert của bốn không gian con $E_1 \cap E_2, E_1^\circ \cap E_2^\circ, E_1^\circ \cap E_2, E_1 \cap E_2^\circ$ (trong đó $M^\circ$ ký hiệu phần bù trực giao của một không gian con vectơ M của E).

b) Chứng minh rằng nếu E₁ có chiều hữu hạn và $\|P_1 - P_2\| < 1$, thì E₂ có cùng chiều với E₁ (xét giao $E_1^\circ \cap E_2$). c) Chứng minh rằng tự đồng cấu $T = (P_1 - P_2)^2$ của E giao hoán với $P_1$ và $P_2$, và không gian con riêng của T tương ứng với trị riêng 0 (tương ứng 1) là tổng trực tiếp của các không gian con trực giao $E_1 \cap E_2$ và $E_1^\circ \cap E_2^\circ$ (tương ứng $E_1^\circ \cap E_2$ và $E_1 \cap E_2^\circ$). d) Giả sử E có chiều hữu hạn và $T = \hat{\lambda} I$ với $\hat{\lambda} \neq 0$. Khi đó $\hat{\lambda} > 0$ và E là tổng Hilbert của các không gian con có chiều $\leq 2$, mỗi không gian con trong đó ổn định đối với $P_1$ và $P_2$ (nhận xét rằng $P_1 - P_2$ là Hermit và suy ra rằng E là tổng Hilbert của hai không gian con $E^+$, $E^-$ sao cho $P_1.x - P_2.x = \sqrt{\hat{\lambda}} x$ trong $E^+$ và $P_1.x - P_2.x = -\sqrt{\hat{\lambda}} x$ trong $E^-$; sau đó chứng minh rằng với $x \in E^+$, ta có $P_1.x = \frac{1 + \sqrt{\hat{\lambda}}}{2} x + z$ và $P_2.x = \frac{1 - \sqrt{\hat{\lambda}}}{2} x + z$, với $z \in E^-$. e) Giả sử rằng E₁ và E₂ có chiều hữu hạn. Chứng minh rằng tồn tại một họ $(F_\alpha)_{\alpha \in A}$ các không gian con của E có chiều $\leq 2$ sao cho E, E₁ và E₂ lần lượt là các tổng Hilbert của các họ $(F_\alpha)_{\alpha \in A}$, $(F_\alpha \cap E_1)_{\alpha \in A}$ và $(F_\alpha \cap E_2)_{\alpha \in A}$ (dùng c) để rút gọn về trường hợp E có chiều hữu hạn, rồi áp dụng d)). \