Exercice 16, § 1

Soient E un espace hilbertien, $P$ un projecteur continu dans E, c’est-à-dire un endomorphisme continu de E tel que $P^2 = P$. Montrer que pour que $P$ soit un orthoprojecteur, il faut et il suffit que $\|P\| \leq 1$. (Pour voir que la condition est suffisante, considérer un vecteur x orthogonal au sous-espace noyau de $I - P$.) Si $P$ est de rang fini, montrer qu’il existe un sous-espace fermé F de E, de codimension finie, contenant $P(E)$ et tel que la restriction de $P$ à F soit un orthoprojecteur.