Bài tập 16, § 1

Cho $E$ là một không gian Hilbert, $P$ là một phép chiếu liên tục trong $E$, nghĩa là một tự đồng cấu liên tục của $E$ sao cho $P^2 = P$. Chứng minh rằng, để $P$ là một phép chiếu trực giao, điều kiện cần và đủ là $\|P\| \leq 1$. (Để thấy rằng điều kiện là đủ, xét một vectơ x trực giao với không gian con hạt nhân của $I - P$.) Nếu $P$ có hạng hữu hạn, chứng minh rằng tồn tại một không gian con đóng F của E, có đối chiều hữu hạn, chứa $P(E)$ và sao cho hạn chế của $P$ trên F là một phép chiếu trực giao.