Exercice 17, § 1

a) Soient E un espace hilbertien réel de dimension 2, $P_1$, $P_2$ deux orthoprojecteurs dans E, sur les droites $D_1$, $D_2$ respectivement, supposées distinctes. Montrer que pour tout $x \in E$ tel que $\|x\| = 1$, on a $\|(P_1 - P_2).x\| = \sin \theta$, où $\theta$ est l’angle de $D_1$ et $D_2$ compris entre 0 et $\pi/2$, et que pour tout $y \neq 0$ dans E, il existe $x \neq 0$ tel que $(P_1 - P_2).x$ soit collinéaire à $y$. b) Soient E un espace hilbertien réel, $P_1$, $P_2$ deux orthoprojecteurs dans E, d’images respectives $E_1$, $E_2$. Montrer que $\|P_1 - P_2\|$ est la borne inférieure des nombres $\sin \theta$, où $\theta$ est l’angle compris entre 0 et $\pi/2$ de deux droites $D_1$, $D_2$ telles que $D_1 \subset E_1$, $D_2 \subset E_2$, $D_1$ et $D_2$ étant orthogonales à $E_1 \cap E_2$. c) Soient $Q_1$, $Q_2$ deux projecteurs continus dans E, d’images $E_1$, $E_2$, et soient $P_1$, $P_2$ les orthoprojecteurs sur $E_1$ et $E_2$ respectivement. Montrer que l’on a $\|P_2 - P_1\| \leq \|Q_2 - Q_1\|$. (Observer que l’on a $(Q_2 - Q_1)P_2 = (I - Q_1)(P_2 - P_1)$ et utiliser a) et b).)