Bài tập 17, § 1

a) Cho E là một không gian Hilbert thực có chiều 2, $P_1, P_2$ là hai phép chiếu trực giao từ E lên các đường thẳng $D_1, D_2$ tương ứng, giả sử phân biệt. Chứng minh rằng với mọi $x \in E$ sao cho $\|x\| = 1$, ta có $\|(\hat{P}_1 - \hat{P}_2).x\| = \sin \theta$, trong đó $\theta$ là góc giữa $D_1$ và $D_2$ nằm giữa 0 và $\pi/2$, và rằng với mọi $y \neq 0$ trong E, tồn tại $x \neq 0$ sao cho $(P_1 - P_2).x$ thẳng hàng với y. b) Cho E là một không gian Hilbert thực, $P_1, P_2$ là hai phép chiếu trực giao trên E, có các ảnh tương ứng $E_1, E_2$. Chứng minh rằng $\|P_1 - P_2\|$ là cận dưới của các số $\sin \theta$, trong đó $\theta$ là góc, nằm giữa 0 và $\pi/2$, của hai đường thẳng $D_1, D_2$ sao cho $D_1 \subset E_1, D_2 \subset E_2, D_1$ và $D_2$ trực giao với $E_1 \cap E_2$. c) Cho $Q_1, Q_2$ là hai phép chiếu liên tục trên E, có các ảnh $E_1, E_2$, và cho $P_1, P_2$ là các phép chiếu trực giao lên $E_1$ và $E_2$ tương ứng. Chứng minh rằng $\|P_2 - P_1\| \leq \|Q_2 - Q_1\|$. (Nhận xét rằng $(Q_2 - Q_1)P_2 = (I - Q_1)(P_2 - P_1)$ và dùng a) và b).)