Exercice 2, § 1

Soit E un espace normé réel ou complexe. On suppose que pour tout sous-espace vectoriel P de dimension 2 (sur $\mathbf{R}$) dans E, il existe une forme bilinéaire symétrique $f_P$ définie dans $P \times P$, telle que $f_P(x, x) = \|x\|^2$ pour tout $x \in P$. Montrer que $f_P$ est définie de manière univoque et qu’il existe une forme sesquilinéaire hermitienne g sur $E \times E$ telle que, pour tout plan réel $P \subset E$, on ait $f_P(x, y) = \Re g(x, y)$, d’où $g(x, x) = \|x\|^2$. (Si E est un espace vectoriel réel, remarquer que l’on a $\|x - y\|^2 + \|x + y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)$ pour tout couple de points de E, et en déduire l’identité

si E est un espace vectoriel complexe, appliquer l’exerc. 1.)