Bài tập 2, § 1

Cho E là một không gian định chuẩn thực hoặc phức. Giả sử rằng với mọi không gian con vectơ 2 chiều P (trên $\mathbf{R}$) trong E, tồn tại một dạng song tuyến tính đối xứng $f_P$ xác định trên $P \times P$, sao cho $f_P(x, x) = \|x\|^2$ với mọi $x \in P$. Chứng minh rằng $f_P$ được xác định một cách không mơ hồ và rằng tồn tại một dạng Hermit nửa song tuyến tính $g$ trên $E \times E$ sao cho, với mọi mặt phẳng thực $P \subset E$, ta có $f_P(x, y) = \Re g(x, y)$, do đó $g(x, x) = \|x\|^2$. (Nếu E là một không gian vectơ thực, nhận xét rằng ta có $\|x - y\|^2 + \|x + y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)$ với mọi cặp điểm của E, và suy ra đẳng thức

nếu E là một không gian vectơ phức, áp dụng bài tập 1.)