Exercice 23, § 1

Soit $E$ un espace vectoriel normé complexe de dimension $\geqslant 3$, tel que pour tout plan (complexe) homogène $P$ dans $E$, il existe un projecteur continu de $E$ sur $P$, de norme 1. Montrer que la norme sur $E$ est préhilbertienne. On se ramènera, à l’aide de V, p. 59, exerc. 2, au cas où $E$ est de dimension 3 sur $\mathbf{C}$, et on procédera comme dans l’exerc. 22. (Pour la partie b) de la démonstration, considérer, pour tout $x' \in E'$ tel que $\|x'\| = 1$, l’ensemble convexe $G_{x'}$ des $x \in S$ tels que $\langle x, x' \rangle = 1$; montrer que si $G_{x'}$ n’était pas réduit à un point, il serait au moins de dimension 3 sur $\mathbf{R}$; considérer alors, dans la variété linéaire affine réelle engendrée par $G_{x'}$, un point frontière de $G_{x'}$ où il n’existe qu’un seul hyperplan d’appui (réel) de $G_{x'}$. Pour la partie c) de la démonstration, considérer de même, pour tout $x \in S$, l’ensemble $G'_x$ des $x' \in S'$ tels que $\langle x, x' \rangle = 1$, et montrer que $G'_x$ est réduit à un point ; pour cela, prouver que, dans le cas contraire, la variété linéaire affine réelle engendrée par $G'_x$ serait au moins de dimension 2 sur $\mathbf{R}$, et contiendrait deux vecteurs linéairement indépendants sur $\mathbf{C}$. Conclure à l’aide de V, p. 64, exerc. 21.)