Bài tập 23, § 1

Cho $E$ là một không gian vectơ chuẩn phức có chiều $\geqslant 3$, sao cho với mọi mặt phẳng thuần nhất (phức) $P$ trong $E$, tồn tại một phép chiếu liên tục của $E$ lên $P$, có chuẩn 1. Chứng minh rằng chuẩn trên $E$ là tiền-Hilbert. Ta sẽ rút gọn, bằng cách sử dụng V, p. 59, Bài tập 2, về trường hợp $E$ có chiều 3 trên $\mathbf{C}$, và ta sẽ tiến hành như trong Bài tập 22. (Đối với phần b) của chứng minh, xét, với mọi $x' \in E'$ sao cho $\|x'\| = 1$, tập lồi $G_{x'}$ của các $x \in S$ sao cho $\langle x, x' \rangle = 1$; chứng minh rằng nếu $G_{x'}$ không rút gọn về một điểm, thì nó sẽ có ít nhất chiều 3 trên $\mathbf{R}$; khi đó xét, trong đa tạp tuyến tính afin thực sinh bởi $G_{x'}$, một điểm biên của $G_{x'}$ tại đó chỉ tồn tại duy nhất một siêu phẳng đỡ (thực) của $G_{x'}$. Đối với phần c) của chứng minh, xét tương tự, với mọi $x \in S$, tập $G'_x$ của các $x' \in S'$ sao cho $\langle x, x' \rangle = 1$, và chứng minh rằng $G'_x$ rút gọn về một điểm; để làm điều này, chứng minh rằng, trong trường hợp ngược lại, đa tạp tuyến tính afin thực sinh bởi $G'_x$ sẽ có ít nhất chiều 2 trên $\mathbf{R}$, và sẽ chứa hai vectơ độc lập tuyến tính trên $\mathbf{C}$. Kết luận bằng cách sử dụng V, p. 64, Bài tập 21.