Exercice 25, § 1

a) Soient $E$ un espace normé réel et $x' \neq 0$ un vecteur du dual $E'$ de $E$. Montrer que pour que tout vecteur $y$ de l’hyperplan ${x'}^{-1}(0)$ soit quasi-normal à $x$ (exerc. 24), il faut et il suffit que $\langle x, x' \rangle = \|x\| \cdot \|x'\|$. b) Déduire de a) que pour tout $x \neq 0$ dans $E$, il existe un hyperplan homogène fermé $H$ de $E$ tel que tout vecteur $y \in H$ soit quasi-normal à $x$. c) Si $x, y$ sont deux points de $E$ et $x \neq 0$, il existe un scalaire $\alpha$ tel que $\alpha x + y$ soit quasi-normal à $x$.