Exercice 26, § 1

On dit qu’un espace normé réel $E$ est lisse si tous les points de la sphère unité dans $E$ sont des points de lissité (II, p. 93, exerc. 6) de la boule unité. Pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit qu’il existe une application et une seule $f$ de $E - \{0\}$ dans $E' - \{0\}$, positivement homogène, telle que $\|f(x)\| = 1$ pour $\|x\| = 1$, et que $\langle x, f(x) \rangle = \|x\| \cdot \|f(x)\|$. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : α) $E$ est lisse. β) Pour tout $x \neq 0$ dans $E$ et tout $y \in E$, il existe un scalaire unique $\alpha$ tel que $\alpha x + y$ soit quasi-normal à $x$.

γ) Pour tout $x \in E$, si $y$ et $z$ sont quasi-normaux à $x$, $y + z$ est quasi-normal à $x$. (Pour voir que γ) entraîne β), observer que si $\alpha x + y$ et $\beta x + y$ sont quasi-normaux à $x$, $(\alpha - \beta) x$ est quasi-normal à $x$.)